Фракталы

1.ВВЕДЕНИЕ

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается

такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник,

сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что

может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе

движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что

использование только знакомых объектов классической геометрии для их

моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель

горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то

многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений

и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей

из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке

человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки,

напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных

систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных

процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос --- подходящие средства для исследования

поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной

геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос

--- термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности.

Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus ---

дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая

излагается в несколько этапов. Прямая --- это одномерный объект, а плоскость

--- двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить

размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет

дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной

размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно

сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже

в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества

Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное

повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении

итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции y = f(x)

и рассматривают поведение последовательности f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),...

В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к

комплексным, а не только к вещественным, функциям (1879). Замечательного

прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон

Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного.

Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в

исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики.

Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой

математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков

прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других,то только потому, что стоял на плечах гигантов».

2.КЛАСИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

1.Самоподобие.

Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать

копией всего отрезка, уменьшенного в 1/r раз. Очевидно, N и r связаны

отношением Nr = 1 Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r

² раз меньше площади исходного). Соответственно, общая формула соотношения запишется Nr^d = 1.

Множества, построенные выше, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом,

возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве НЕ

является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N

непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с

коэффициентом r, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ ---

решительное да! Такое множество называется самоподобным фракталом.

Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или

размерностью подобия.

2. Снежинка Коха.

Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году описывается кривой, составленной их трех одинаковых фракталов размерности d ~

1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон

равностороннего треугольника. Пусть K_o --- начальный отрезок. Уберем

среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис.

2.2.2. Назовем полученное множество K₁ . Повторим данную процедуру

многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.

Рис 2.2.1. Снежинка Коха.

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха --- ее

бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли

иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или

хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно

убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд

увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины

береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 2.2.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем

исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в

природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию,

имеет бесконечную длину.

3. Ковер Серпинского.

Еще один пример простого самоподобного фрактала --- ковер Серпинского

(рис. 2.3.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.

Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе

построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно

выбрасываем внутренние подобласти.

Рис 2.3.1. Ковер Серпинского

Пусть начальное множество S₀ --- равносторонний треугольник вместе с

областью, которую он замыкает. Разобьем S₀ на четыре меньшие

треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника.

Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем

оставшееся множество S₁ (рис. 2.3.2). Затем повторим процесс для

каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее

приближение S₂. Продолжая таким образом, получим последовательность

вложенных множеств S_n, чье пересечение образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3

существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент

подобия r = ½ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно,

S --- самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

3. L-системы.

Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось

только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были

введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических

моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные

фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие

классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта,

Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают

путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их

широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений.

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

Рис 3.2. Дерево после 5-ти итераций

4. Аттрактор Лоренца

До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими

фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает

необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды,

турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных

двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует

моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы

определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической

противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает

состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то

время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность,

присущую геометрической конфигурации.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за

термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского

технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями

метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял

значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его

заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в

середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента.

Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами

первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в

точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени.

Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков.

Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное

было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо

согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и

постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (рисунки

приведены в [1], стр. 149).

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру),

прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь

называется существенной зависимостью от начальных условий --- основной

чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют

эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать

долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье

«Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к

образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году [3, стр. 322].

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе

не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами,

описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать

наиболее простые модели хаотической динамики --- дискретные, к которым

относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему

множества Жюлиа.

Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца.

4.2. Множества Мандельброта и Жюлиа.

Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который

впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления, и

восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Мандельброта и

множества Жюлиа на плоскости. Эти множества относятся к хаотической динамике

на комплексной плоскости.

Более удачные визуализации получаются при использовании окна 400x400 пикселов и более. При этом количество итераций достаточно 20-ти. Для получения более качественного построения множества можно увеличить количество итераций до 50. Рис 4.2.1 Область 3-периодичности множества Мандельброта

Рис. 4.2.2. Множество Жюлиа.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Данная работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели

только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких

принципов они строятся. В дополнение хочется отметить применение фракталов в компьютерных

технологиях, помимо просто построения красивых изображений на экране

компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих

областях:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности.

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих не учитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).

Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной 1/6 (или100/6 %). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 • 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 • 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.

Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна11/100 , т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события , называемого противоположным событию A, равна25/36 . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 • 6 = 63, при четырехкратном 63 • 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 • 5 = 53, при четырехкратном 53 • 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна, а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна .

Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.

Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев.

Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна 1\6; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.

Отношение числа появлений события к числу испытаний называется частостью события. Для однородных массовых явлений частости событий ведут себя устойчиво, т. е. мало колеблются около средних величин, которые и принимаются за вероятности этих событий. В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.)

Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости.

Теория вероятности – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социальноэкономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

Как уже говорилось, понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример1. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния.

Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.

При стрельбе случайным событием является попадание в цель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположным ему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, что понятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать в житейском смысле: "это чистая случайность", так как для хорошего стрелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой в обыденном смысле.

Пусть при некотором числе n испытаний событие A наступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались "удачными", в том смысле, что интересующее нас событие A осуществилось, и n-m результатов оказались "неудачными" - событие A не произошло.

Вероятностью события A, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний).

Само собой разумеется, что если вероятность события равна , то при n испытаниях событие A может наступить и более чем m раз, и менее чем m раз; оно лишь в среднем наступает m раз, и в большинстве серий по n испытаний число появлений события A будет близко к m, в особенности если n — большое число.

Таким образом, вероятность P(A) есть некоторое постоянное число, заключенное между нулем и единицей. Иногда ее выражают в процентах: Р(А)

100% есть средний процент числа появлений события A. Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е. условия S производства испытаний — определенные; если их существенно изменить, то может измениться вероятность события A: то будет вероятность события A в другой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будем считать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовой операции; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, то это будет специально отмечаться.

Два события A и B называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

В этом случае пишут A = B и не делают различия между этими событиями. Вероятности равно- сильных событии A = B, очевидно, одинаковы: P(A) = P(B)

Обратное утверждение, конечно, неверно: из того, что P(A) = P(B), отнюдь не следует, что A = B.

Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Условимся обозначать его буквой D.

Для достоверного события число его наступлений m равно числу испытаний n, поэтому частость его всегда равна единице, т. е. вероятность достоверного события следует принять равной единице: P(D) = 1

Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Условимся обозначать его буквой H.

Для невозможного события m = 0, следовательно, частость его всегда равна нулю, т. е. вероятность невозможного события следует считать равной нулю: P(H) = 0

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.

На сколько мала должна быть вероятность события, чтобы практически можно было считать его невозможным? Общего ответа здесь дать нельзя, так как все зависит от того, насколько важно это событие.

Например.Если, например, вероятность того, что электрическая лампочка окажется испорченной, равна 0, 01, то с этим можно примириться. Но если 0, 01 есть вероятность того, что в банке консервов образуется сильный яд ботулин, то с этим примириться нельзя, так как примерно и одном случае из ста будет происходить отравление людей и человеческие жизни окажутся под угрозой.

Основные категории теории вероятности.

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий: события, вероятность, случайность.

События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть: достоверные, возможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственно возможными, если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Классическое и статистическое определение вероятности.

Вероятность – численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности: если множество возможных исходов конечное число, то вероятностью события Е считается отношение числа исходов благоприятствующих этому событию к общему числу единственно возможных равновозможных исходов.

Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий.

Пространство элементарных событий всегда можно описать числом nS=2, nS=6.

Если обозначить число исходов благоприятствующих событию n(E), то вероятность события Е будет выглядеть . Для наших примеров .

Исходя из классического определения вероятности, можно вывести ее основные свойства:

Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1.

Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий.

Расчет вероятности более сложных событий - это сложная задача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика. Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности.

Доказано, что при многократном повторении опыта частости довольно устойчивы и колеблятся около некоторого постоянного числа, представляющего собой вероятность события.

Таким образом, в условиях массовых испытаний распределение частостей превращается в распределение вероятности случайной перемены.

Достоинство статистического определения вероятности в том, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов.

Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

Распределение частостей дискретного ряда, выраженных конечными числами, называется дискретным распределением вероятности.

Если осуществляются исследования массовых событий частостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либо функцией, называются непрерывным распределением вероятности.

На графике такое распределение отражается непрерывной плавной линией, а площадь ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна 1.

Заключение

Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее историю и положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением вы науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующее программное управление не может помочь человеку в создании таких кибернетических машин, которые, подобно человеку, будут мыслить самостоятельно.

И именно теория вероятности может способствовать появлению искусственного разума.

«Процессы управления , где бы они ни протекали – живых организмах, машинах или обществе, - происходят по одним и тем же законам», - провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца, процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибко приспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно в сложных автоматических устройствах.

Список литературы

1.Г.И. Мишкевич «Доктор занимательных наук»

2.Е.П. Бударина «Теория вероятности и математическая статистика»

3.И.В. Волков « Высшая математика»

4. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., «Элементарное введение в теорию вероятностей»